http://www.delise.it/paolo/matematica/problemi.pdf.

Problemi di matematica. La storia dell’orso.

Per sorridere e pensare, raccolti e commentati da Paolo Delise.

Nuova edizione riveduta e corretta. Trieste, 10 marzo 2017.

Problemi curiosi. Piccola selezione.

1. La storia dell’orso.

Questo è un problema così classico, ma bello, che ho ritenuto di usarlo per dare il titolo all'intera raccolta. Un orso parte dalla sua tana in cerca di cibo. Fatto un km verso sud, ne fa un altro verso est e un terzo verso nord. A questo punto si ritrova nella sua tana. Di che colore è la pelliccia dell'orso?

2. La coloritura delle carte geografiche.

Quanti colori sono necessari per colorare una carta geografica se si vuole che due stati confinanti non abbiano mai lo stesso colore?

3. Salvare capra e cavolo.

Questo problema è così famoso da aver dato luogo al detto comune riporta- to come titolo: un contadino ha con sé un lupo, una capra ed un cavolo e deve attraversare un fiume su una barca nella quale può mettere sé e, al più, altri due elementi. Lasciati soli, la capra mangerebbe il cavolo, il lupo mangerebbe la capra. Come fa il contadino a salvare capra e cavolo.

4. Il coccodrillo.

Ai coccodrilli piacciono i bambini, nel senso che li trovano deliziosi, perché hanno la carne tenera. Un coccodrillo, rapisce, sulle rive del Nilo, un bambi- no. Ma la mamma lo insegue e lo implora di restituirglielo. “Te lo restituirò se indovinerai quello che farò di tuo figlio” gli rispose il coccodrillo. Cosa ri- spose la madre?

RISPOSTE.

1. La storia dell’orso.

Una soluzione si può avere se l'orso si trovasse al polo nord dove convergono tutti i meridiani (quindi la sua pelliccia è bianca): l’orso scende verso sud lungo un me- ridiano, poi va ad est lungo un parallelo e risale al polo nord, sede della sua tana, lungo un altro meridiano: non dimentichiamo che sulla terra la geometria non è piana, ma sferica. Un'altra soluzione si potrebbe avere se, al polo sud, tracciassimo una circonferenza lunga 1/n km o, se preferite, di raggio 1/ (2nπ) con n un numero intero. Da un qualunque punto di questa circonferenza ci si sposta verso nord lungo un meridiano, di un km. Là si potrebbe trovare la tana dell'orso: provare per credere (ma al polo sud non ci sono orsi!).

2. La coloritura delle carte geografiche.

E' stato dimostrato che ne bastano al più 5 ma non si è mai trovato un esempio che ne richiedesse più di 4. Di recente il problema è stato risolto dimostrando che ne bastano effettivamente 4 soli, ma il modo della soluzione ha fatto torcere il naso a molti matematici in quanto per la dimostrazione si è fatto un utilizzo pesante del calcolatore elettronico.

3. Salvare capra e cavolo.

È abbastanza semplice: traghetterà lupo e capra; tornerà indietro con la capra; traghetterà il cavolo e poi, tornerà a prendere la capra.

4. Il coccodrillo.

Qualunque sia la risposta della madre il problema resta ambiguo. Se la madre risponde che lo divorerà, il coccodrillo non può liberarlo perché in questo caso farebbe il contrario di ciò che ha detto la madre; se però, in conseguenza di ciò, lo divorasse farebbe quello che ha detto la madre, e così via. Se la madre avesse detto che lo avrebbe liberato, invece, qualunque cosa avesse fatto il coccodrillo sarebbe andata bene. Comunque adesso il coccodrillo si è messo in un bel guaio e bisogna vedere se il suo senso dell'onore è superiore alla sua passione per i bambini. Poiché noi vogliamo bene ai bambini ma non odiamo i coccodrilli, speriamo di sì (tratto da L. Carrol).